ECLIPSE

S. f. en Astronomie, c'est une privation passagère, soit réelle, soit apparente, de lumière, dans quelqu'un des corps célestes, par l'interposition d'un corps opaque entre le corps céleste et l'oeil, ou entre ce même corps et le Soleil. Les éclipses de Soleil sont dans le premier cas ; les éclipses de Lune et des satellites sont dans le second : car le Soleil est lumineux par lui-même, et les autres planètes ne le sont que par la lumière qu'ils en reçoivent. Les éclipses des étoiles par la Lune ou par d'autres planètes, s'appellent proprement occultations. Lorsqu'une planète, comme Vénus et Mercure, passe sur le Soleil, comme elle n'en couvre qu'une petite partie, cela s'appelle passage. Voyez OCCULTATION et PASSAGE.

Le mot éclipse vient du grec, , défaillance. Les Romains se servaient aussi du mot deficère, pour désigner les éclipses. (O)

L'ignorance de la Physique a fait rapporter dans tous les lieux et dans tous les temps, à des causes animées, les effets dont on ne connaissait pas les principes ; ainsi les prêtres débitèrent en Grèce, que Diane était devenue amoureuse d'Endimion, et que les éclipses devaient s'attribuer aux visites nocturnes que cette déesse rendait à son amant dans les montagnes de la Carie : mais comme ses amours ne durèrent pas toujours, il fallut chercher, dit l'abbé Banier, une autre cause des éclipses.

On publia que les sorcières, surtout celles de Thessalie, avaient le pouvoir par leurs enchantements d'attirer la Lune sur la terre ; c'est pourquoi on faisait un grand vacarme avec des chauderons et autres instruments, pour la faire remonter à sa place. Les Romains entr'autres suivaient cet usage, et allumaient un nombre infini de torches et de flambeaux, qu'ils élevaient vers le ciel, pour rappeler la lumière de l'astre éclipsé. Juvénal fait allusion au grand bruit que faisait à ce sujet le peuple de Rome sur des bassins d'airain, lorsqu'il dit d'une femme babillarde, qu'elle fait assez de bruit pour secourir la Lune en travail : Una laboranti poterit succurrere Lunae.

Si l'on voulait remonter à la source de cette coutume, on trouverait qu'elle venait d'Egypte, où Isis, symbole de la Lune, était honorée avec un bruit pareil de chauderons, de tymbales, et de tambours.

L'opinion des autres peuples était, que les éclipses annonçaient de grands malheurs, ou menaçaient la tête des rois et des princes. On a eu longtemps la même idée des cometes. Les Mexicains effrayés jeunaient pendant les éclipses. Les femmes durant ce temps-là se maltraitaient elles-mêmes, et les filles se tiraient du sang des bras. Ces gens-là s'imaginaient que la Lune avait été blessée par le Soleil, pour quelque querelle qu'ils avaient eue ensemble.

Les Indiens croient aussi par ce principe, que la cause des éclipses vient de ce qu'un dragon malfaisant veut dévorer la Lune ; c'est pourquoi les uns font un grand vacarme, pour lui faire lâcher prise, pendant que les autres se mettent dans l'eau jusqu'au cou, pour supplier le dragon de ne pas dévorer entièrement cette planète. Lisez encore là-dessus, dans les mémoires du P. le Comte, les idées particulières des Chinois.

Anaxagore contemporain de Périclès, et qui mourut la première année de la soixante-huitième olympiade, fut le premier qui écrivit très-clairement et très-hardiment sur les diverses phases de la Lune, et sur ses éclipses ; je dis, comme Plutarque, très-hardiment, parce que le peuple ne souffrait pas encore volontiers les Physiciens. Aussi les ennemis de Socrate réussirent à le perdre, en l'accusant de chercher par une curiosité criminelle à pénétrer ce qui se passe dans les cieux, comme si la raison et le génie pouvaient s'élever trop haut. On n'a depuis que trop souvent renouvellé par le même artifice, des accusations semblables contre des hommes du premier mérite. Article de M(D.J.)

Les généraux romains se sont servis quelquefois des éclipses pour contenir leurs soldats, ou pour les encourager dans des occasions importantes. Tacite dans ses annales, liv. I. ch. xxviij. parle d'une éclipse dont Drusus se servit pour apaiser une sédition très-violente, qui s'était élevée dans son armée. Tite-Live rapporte que Sulpitius Gallus, lieutenant de Paul Emîle dans la guerre contre Persée, prédit aux soldats une éclipse qui arriva le lendemain, et prévint par ce moyen la frayeur qu'elle aurait causée. Ce fait n'a pas été raconté assez exactement à l'article ASTRONOMIE, où même par une faute du copiste ou de l'imprimeur, on a mis les Perses au lieu de Persée. Plutarque dit que Paul Emîle sacrifia à cette occasion onze veaux à la Lune, et le lendemain vingt-un bœufs à Hercule, dont il n'y eut que le dernier qui lui promit la victoire.

Aujourd'hui non-seulement les Philosophes, mais le peuple même est instruit de la cause des éclipses ; on sait que les éclipses de Lune viennent de ce que cette planète entre dans l'ombre de la Terre, et ne peut être éclairée par le Soleil durant le temps qu'elle la traverse, et que les éclipses de Soleil viennent de l'interposition de la Lune, qui cache aux habitants de la Terre une partie du Soleil, ou même le Soleil tout entier. Les Astronomes observent dans les satellites de Jupiter et de Saturne, des éclipses semblables à celles de notre Lune, mais à la vérité plus fréquentes ; parce que ces satellites tournent autour de Jupiter en bien moins de temps que la Lune autour de nous.

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FIGURÉ

Détails
Écrit par : Jean le Rond d'Alembert (O)
Catégorie : Arithmétique & Algèbre
adj. (Arithmétique et Algèbre) On appelle nombres figurés des suites de nombres formés suivant la loi qu'on Ve dire. Supposons qu'on ait la suite des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, etc. et qu'on prenne successivement la somme des nombres de cette suite, depuis le premier jusqu'à chacun des autres, on formera la nouvelle suite 1, 3, 6, 10, 15, etc. qu'on appelle la suite des nombres triangulaires. Si on prend de même la somme des nombres triangulaires, on formera la suite 1, 4, 10, 20, etc. qui est celle des nombres pyramidaux. La suite des nombres pyramidaux formera de même une nouvelle suite de nombres. Ces différentes suites forment les nombres qu'on appelle figurés ; les nombres naturels sont ou peuvent être regardés comme les nombres figurés du premier ordre, les triangulaires comme les nombres figurés du second, les pyramidaux comme du troisième ; et les suivants sont appelés du quatrième, du cinquième, du sixième ordre, etc. et ainsi de suite. Voici pourquoi on a donné à ces nombres le nom de figurés.



Imaginons un triangle que nous supposerons équilatéral pour plus de commodité, et divisons-le par des ordonnées parallèles et équidistantes. Mettons un point au sommet, deux points aux deux extrémités de la première ordonnée, c'est-à-dire de la plus proche du sommet ; la seconde ordonnée étant double de la première, contiendra trois points aussi distants l'un de l'autre que les deux précédents ; la troisième en contiendra quatre ; et ainsi 1, 2, 3, 4, etc. seront la somme des points que contient chaque ordonnée : maintenant il est visible que le premier triangle qui a pour base la première ordonnée ; contient 1 + 2 ou 3 de ces points ; que le second triangle, quadruple du premier, en contient 1 + 2 + 3 ou 6 ; que le troisième noncuple du premier en contient 1 + 2 + 3 + 4 ou 10, etc. et ainsi de suite. Voilà les nombres triangulaires. Prenons à présent une pyramide équilatérale et triangulaire, et divisons-la de même par des plans parallèles et équidistants qui forment des triangles parallèles à sa base, lesquels triangles formeront entr'eux la même progression 1, 4, 9, etc. que les triangles dont on vient de parler ; il est visible que le premier de ces triangles contenant 3 points, le second en contiendra 6, le troisième 10, etc. comme on vient de le dire, c'est-à-dire que le nombre des points de chacun de ces triangles sera un nombre triangulaire. Donc la première pyramide, celle qui a le premier triangle pour base, contiendra 1 + 3 ou 4 point, la seconde 1 + 3 + 6 ou 10, la troisième 1 + 3 + 6 + 10 ou 20. Voilà les nombres pyramidaux. Il n'y a proprement que les nombres triangulaires et les pyramidaux qui soient de vrais nombres figurés, parce qu'ils représentent en effet le nombre des points que contient une figure triangulaire ou pyramidale : passé les nombres pyramidaux il n'y a plus de vrais nombres figurés, parce qu'il n'y a point de figure en Géométrie au-delà des solides, ni de dimension au-delà de trois dans l'étendue. Ainsi c'est par pure analogie et pour simplifier, que l'on a appelé figurés les nombres qui suivent les pyramidaux.

Ces nombres figurés ont cette propriété. Si on élève a + b successivement à toutes les puissances en cette sorte.

a + b

a a + 2 a b + b b

a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

a4 + 4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4

a5, &c.

les coefficiens 1, 2, 3, etc. de la seconde colonne verticale seront les nombres naturels ; les coefficiens 1, 3, 6, de la troisième seront les nombres triangulaires ; ceux de la quatrième, 1, 4, etc. seront les pyramidaux, et ainsi de suite.

M. Pascal dans son ouvrage qui a pour titre triangle arithmétique, M. de l'Hopital dans le liv. X. de ses sections coniques, et plusieurs autres, ont traité avec beaucoup de détail des propriétés de ces nombres. Voici la manière de trouver un nombre figuré d'une suite quelconque.

1°. 1 étant le premier terme de la suite des nombres naturels, on aura n pour le ne terme de cette suite. Voyez PROGRESSION ARITHMETIQUE. Donc n est le ne nombre figuré du premier ordre.

2°. La somme d'une progression arithmétique est égale à la moitié de la somme des deux extrêmes, multipliée par le nombre des termes. Or le ne nombre triangulaire est la somme d'une progression arithmétique, dont 1 est le premier terme, n le dernier, et n le nombre des termes. Donc le ne nombre triangulaire est (1 + n)/2 x n = (n n + n) /2.

3°. Pour trouver le ne nombre pyramidal, voici comment il faut s'y prendre. Je vois que le ne nombre du premier ordre est de la forme A n, A étant un coefficient constant égal à l'unité ; que le ne nombre du second ordre est de la forme A n + B n n, A et B étant égaux chacun à 1/2 : j'en conclus que le ne nombre pyramidal sera de la forme n + n n + c n3, , , c, étant des coefficiens inconnus que je détermine de la manière suivante, en raisonnant ainsi : Si n + n n + c n3 est le ne nombre pyramidal, le e doit être (n + 1) + (n + 1)2 + c (n + 1)3. Or la différence du e nombre pyramidal et du ne doit être égal au e nombre triangulaire, puisque par la génération des nombres figurés le e nombre pyramidal n'est autre chose que le e nombre triangulaire ajouté au ne nombre pyramidal ; de plus le e nombre triangulaire est (2 + n +1)/2 : de-là on tirera une équation qui servira à déterminer , et c, et on trouvera après tous les calculs que n + n n + c n3 = n/2 . 3 X = ( . )/2. 3. Il est à remarquer que pour avoir , et c, il faut comparer séparément dans chaque membre de l'équation les termes où n se trouve élevée au même degré ; car la valeur de , de , et de c, étant toujours la même, doit être indépendante de celle de n, qui est variable.

4°. Le nombre triangulaire de l'ordre n étant ( . n)/2, et le pyramidal correspondant étant ( . . n)/2 . 3, la simple analogie fait voir que le ne nombre figuré du quatrième ordre sera ( . . . n)/2 . 3 . 4, et en général il est évident que si (n + m.... n) /(2... m + 1) est le ne nombre figuré d'un ordre quelconque, le ne nombre figuré du suivant sera (n + m + 1.... n) /(2.... m + 2). En effet, suivant cette expression, le e nombre figuré de ce dernier ordre serait (n + m + 2... n + m + 1... n + 1)/(2.... m + 2), dont la différence avec le ne est évidemment (n + m + 1 ..... n + 1)/(2 .... m + 1 . m + 2) X = (n + m + 1 ..... n + 1)/(2 ..... m + 1) X (m + 2)/(m + 2) = (n + m + 1 ....... n + 1)/(2 ....... m + 1), qui est le e nombre figuré de l'ordre précédent, comme cela doit être.

En général si (A + B n) (n + q) (n + q - 1) (n + q - 2).... n, est le ne terme d'une suite quelconque, et qu'on prenne successivement la somme des termes de cette suite, le ne terme de la nouvelle suite ainsi formée sera ( + n) (n + q + 1) (n + q) (n + q - 1).... n ; et étant deux indéterminées qu'on déterminera par cette condition, que le e terme de la nouvelle suite moins le ne de cette même suite soit égal au e terme de la suite donnée. D'où l'on tire, en supprimant de part et d'autre les facteurs communs (n + q + 1).... (n + 1) ( + n + ) x (n + q + 2) - ( + n) x n = A + B n + B, et par conséquent = B/(q + 3) et = (q A + 3 A + B) /((q + 2). (q + 3)).

Cette formule est beaucoup plus générale que celle qui fait trouver les nombres figurés ; car si au lieu de supposer que la première suite soit formée des nombres naturels, on suppose qu'elle forme une progression arithmétique quelconque, on peut par le moyen de la formule qu'on vient de voir, trouver la somme de toutes les autres suites qui en seront dérivées à l'infini, et chaque terme de ces suites. En effet le ne terme de la première suite étant A + B n, le ne terme de la seconde suite sera ( + n) n ; le terme de la troisième suite sera ( + n) (n + 1) n, et ainsi de suite, et se déterminant par et , comme et par A et B, etc. A l'égard de la somme des termes d'une suite quelconque, il est visible qu'elle est égale au ne terme de la suivante.

M. Jacques Bernoulli dans son traité de seriebus insinitis earumque summâ infinitâ, a donné une méthode très-ingénieuse de trouver la somme d'une suite, dont les termes ont 1 pour numérateur, et pour dénominateurs des nombres figurés d'un ordre quelconque, à commencer aux triangulaires. Voici en deux mots l'esprit de cette méthode : Si de la fraction a/(n. n + 1.... n + m), on retranche a/(n + 1. n + 2.... n + m + 1), on aura (a n + a m + a - a n)/(n. n + 1... n + m + 1) = (a (m + 1))/(n. n + 1.... n + m + 1). D'où il est aisé de conclure que la somme d'une suite, dont les dénominateurs sont, par exemple, les nombres triangulaires, se trouvera aisément en retranchant de la suite 1, 1/2, 1/3, 1/4, etc. cette même suite diminuée de son premier terme, et multipliant ensuite par 2, ce qui donnera 2. Voyez dans l'ouvrage cité le détail de cette méthode. Voyez aussi l'art. SUITE ou SERIE.

On peut regarder comme les nombres figurés les nombres polygones, quoiqu'on ne leur donne pas ordinairement ce nom. Ces nombres ne sont autre chose que la somme des termes d'une progression arithmétique ; si la progression est des nombres naturels, ce sont les nombres triangulaires ; si la progression est 1, 3, 5, 7, etc. ce sont les nombres carrés ; si elle est 1, 4, 7, 10, etc. ce sont les nombres pentagones. Voici la raison de cette dénomination : Construisez un polygone quelconque, et mettez un point à chaque angle ; ensuite d'un de ces angles tirez des lignes à l'extrémité de chaque côté, ces lignes seront en nombre égal au nombre des côtés du polygone moins deux, ou plutôt au nombre des côtés, en comptant deux des côtés pour deux de ces lignes ; prolongez ces lignes du double, et joignez les extrémités par des lignes droites, vous formerez un nouveau polygone, dont chaque côté étant double de son correspondant parallèle, contiendra un point de plus. Donc si m est le nombre des côtés de ce polygone, la circonférence de ce polygone aura m points de plus que la circonférence du précédent ; et le polygone entier, c'est-à-dire l'aire de ce polygone contiendra m - 2 points de plus que le précédent. Voyez POLYGONE.

Une simple figure fera voir aisément tout cela, et montrera que pour les nombres pentagones où m = 5, on a m - 2 = 3, et qu'ainsi ces nombres sont la somme de la progression 1, 4, 7, etc. dont la différence est trois.

On pourrait former des sommes, des nombres polygones, qu'on appellerait nombres polygones pyramidaux ; ces nombres exprimeraient le nombre des points d'une pyramide pentagone quelconque. On trouverait ces nombres par les méthodes données dans cet article. Voyez POLYGONE, PYRAMIDAL, SUITE ou SERIE. etc. (O)




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