S. f. asymptotus, terme de Géométrie. Quelques auteurs définissent l'asymptote une ligne indéfiniment prolongée, qui Ve en s'approchant de plus en plus d'une autre ligne qu'elle ne rencontrera jamais. Voyez LIGNE.
Mais cette définition générale de l'asymptote n'est pas exacte, car elle peut être appliquée à des lignes qui ne sont pas des asymptotes. Sait (fig. 20. n°. 2. sect. con.) l'hyperbole K S L ; son axe C M ; son axe conjugué A B. On sait que si du centre C, on mène les droites indéfinies C D, C E, parallèles aux lignes B S, A S, tirées du sommet S de l'hyperbole, aux extrémités de son axe conjugué : ces lignes CD, CE, seront les asymptotes de l'hyperbole K S L.
Saient tirées les parallèles f g, h i, etc. à l'asymptote C D ; il est évident que ces parallèles indéfiniment prolongées, vont en s'approchant continuellement de l'hyperbole qu'elles ne rencontreront jamais. La définition précédente de l'asymptote convient donc à ces lignes ; elle n'est donc pas exacte.
Qu'est-ce donc qu'une asymptote en général ? C'est une ligne, qui étant indéfiniment prolongée, s'approche continuellement d'une autre ligne aussi indéfiniment prolongée, de manière que sa distance à cette ligne ne devient jamais zéro absolu, mais peut toujours être trouvée plus petite qu'aucune grandeur donnée.
Sait tirée la ligne N o p q perpendiculairement à l'asymptote C D, et à ses parallèles f g, h i, etc. il est évident que l'asymptote C D peut approcher de l'hyperbole plus près que d'aucune grandeur donnée ; car la propriété de l'asymptote C D consiste en ce que le produit de C p par p q est toujours constant ; d'où il s'ensuit que C p augmentant à l'infini, p q diminue aussi à l'infini : mais la distance des parallèles f g, h i, à cette courbe sera toujours au moins de n p, de o p, etc. et par conséquent ne sera pas plus petite qu'aucune grandeur donnée. Voyez HYPERBOLE.
Le mot asymptote est composé de privatif, de , avec, et de , je tombe, c'est-à-dire qui n'est pas co-incident, ou qui ne rencontre point. Quelques auteurs latins ont nommé les asymptotes, lineae intactae.
Certains géomètres distinguent plusieurs espèces d'asymptotes ; il y en a, selon ces auteurs, de droites, de courbes, etc. Ils distribuent les courbes en concaves, convexes, etc. et ils proposent un instrument pour les tracer toutes : le mot d'asymptote tout court ne désigne qu'une asymptote droite.
L'asymptote se définit encore plus exactement une ligne droite, qui étant indéfiniment prolongée, s'approche continuellement d'une courbe ou d'une portion de courbe aussi prolongée indéfiniment, de manière que sa distance à cette courbe ou portion de courbe ne devient jamais zéro absolu, mais peut toujours être trouvée plus petite qu'aucune grandeur donnée.
Je dis, 1°. d'une courbe ou d'une portion de courbe, afin que la définition convienne, tant aux courbes serpentantes qu'aux autres.
Car la ligne f g h (figure 20. n. 3.) ne peut être considérée comme l'asymptote de la courbe serpentante m n o p r s, que quand cette courbe a pris un cours réglé relativement à elle, c'est-à-dire un cours par lequel elle a été toujours en s'en approchant.
Je dis, 2°. que la distance de l'asymptote à la courbe peut toujours être trouvée moindre qu'aucune grandeur donnée ; car sans cette condition, la définition conviendrait à l'asymptote et à ses parallèles. Or une définition ne doit convenir qu'à la chose définie.
On dit quelquefois que deux courbes sont asymptotes l'une à l'autre, lorsqu'indéfiniment prolongées elles vont en s'approchant continuellement, sans pouvoir jamais se rencontrer. Ainsi deux paraboles de même paramètre, qui ont pour axe une même ligne droite, sont asymptotes l'une à l'autre.
Entre les courbes du second degré, c'est-à-dire entre les sections coniques, il n'y a que l'hyperbole qui ait des asymptotes.
Toutes les courbes du troisième ordre ont toujours quelques branches infinies, mais ces branches infinies n'ont pas toujours des asymptotes ; témoins les paraboles cubiques, et celles que M. Newton a nommées paraboles divergentes du troisième ordre. Quant aux courbes du quatrième, il y en a une infinité, qui non seulement n'ont pas quatre asymptotes, mais qui n'en ont point du tout, et qui n'ont pas même de branches infinies, comme l'ellipse de M. Cassini. Voyez COURBE, BRANCHE, ELLIPSE, etc.
La conchoïde, la cissoïde, et la logarithmique, qu'on ne met point au nombre des courbes géométriques, ont chacune une asymptote. Voyez COURBE.
L'asymptote de la conchoïde est très-propre pour donner des notions claires de la nature des asymptotes en général. Sait (Planche de l'Analyse, figure 1.) M M A M une portion de conchoïde, C le pôle de cette courbe, et B R une ligne droite au-delà de laquelle les parties Q M, E A, Q M, etc. des droites tirées du pôle C, sont toutes égales entr'elles. Cela posé, la droite B R sera l'asymptote de la courbe. Car la perpendiculaire M I étant plus courte que M O, et M R plus courte que M Q, etc. il s'ensuit que la droite B D Ve en s'approchant continuellement de la courbe M M A M ; de sorte que la distance M R Ve toujours en diminuant, et peut être aussi petite qu'on voudra, sans cependant être jamais absolument nulle. Voyez DIVISIBILITE, INFINI, etc. Voyez aussi CONCHOIDE.
On trace de la manière suivante les asymptotes de l'hyperbole. Sait (Planche des sect. coniq. fig. 20.) une droite D E tirée par le sommet A de l'hyperbole, parallèle aux ordonnées M m, et égale à l'axe conjugué d e ; en sorte que la partie AE soit égale à la moitié de cet axe, et l'autre partie DA égale à l'autre moitié. Les deux lignes tirées du centre C de l'hyperbole par les points D et E, savoir CF et CG, seront les asymptotes de cette courbe.
Il résulte de tout ce que nous avons dit jusqu'ici, qu'une courbe peut avoir dans certains cas pour asymptote une droite, et dans d'autres cas une courbe. Toutes les courbes qui ont des branches infinies, ont toujours l'une ou l'autre de ces asymptotes, et quelquefois toutes les deux ; l'asymptote est droite, quand la branche infinie est hyperbolique ; l'asymptote est courbe, lorsque la branche infinie est parabolique, et alors l'asymptote courbe est une parabole d'un degré plus ou moins élevé. Ainsi la théorie des asymptotes des courbes dépend de celle de leurs branches infinies. Voyez BRANCHE.
Une courbe géométrique ne peut avoir plus d'asymptotes droites qu'il n'y a d'unités dans l'exposant de son ordre. Voyez Stirling, Enum. lin. 3. ord. prop. VIe cor. 7. et l'Introduction à l'analyse des lignes courbes, par M. Cramer, page 344. art. 147. Ce dernier ouvrage contient une excellente théorie des asymptotes des courbes géométriques et de leurs branches, chap. VIIIe
Si l'hyperbole G M R, fig. 12. est une des courbes dont la nature exprimée par l'équation aux asymptotes soit renfermée dans l'équation générale Xe yn = a(m + n) ; tirez la droite P M, par-tout où vous voudrez, parallèle à l'asymptote C S ; achevez le parallélogramme PCOM. Ce parallélogramme sera à l'espace hyperbolique PMGB, terminé par la ligne P M, par l'hyperbole indéfiniment continuée vers G, et par la partie P B de l'asymptote indéfiniment prolongée du même côté, comme m - n est à n. Ainsi lorsque m sera plus grand que n, l'espace hyperbolique sera quarrable. Si m = n, comme dans l'hyperbole ordinaire, le parallélogramme PCOM sera à l'espace hyperbolique comme zéro est à 1, c'est-à-dire que cet espace sera infini relativement au parallélogramme, et par conséquent non quarrable. Enfin si m est moindre que n, le parallélogramme sera à l'espace hyperbolique comme un nombre négatif à un nombre positif, l'espace PMGB sera infini, et l'espace MPCE sera quarrable. Voyez la fin du cinquième livre des sections coniques de M. le marquis de l'Hôpital. Voyez aussi un mémoire de M. Varignon imprimé en 1705, parmi ceux de l'académie royale des Sciences, et qui a pour titre Réflexions sur les espaces plus qu'infinis de M. Wallis. Ce dernier géomètre prétendait que l'espace MPGB, étant au parallélogramme comme un nombre positif à un nombre négatif, l'espace MPGB était plus qu'infini. M. Varignon censure cette expression, qui n'est pas sans doute trop exacte. Ce qu'on peut assurer avec certitude, c'est que l'espace PMGB est un espace plus grand qu'aucun espace fini, et par conséquent qu'il est infini.
Pour le prouver, et pour rendre la démonstration plus simple, faisons a = 1, et nous aurons l'équation Xe yn = 1 ou y = Xe m/n. (Voyez EXPOSANT). Donc y d Xe élément de l'aire PMGB = Xe m/n d Xe dont l'intégrale (voyez INTEGRAL) est ; pour compléter cette intégrale, il faut qu'elle soit = 0 lorsque x = 0 ; d'où il s'ensuit que l'intégrale complete est - + . Donc, 1°. Si m < n,on a 1 - m/n égal à une quantité positive. Ainsi l'intégrale se réduit à qui représente l'espace ECPM ; d'où l'on voit que cet espace est fini tant que x est fini, et que quand x devient infini, l'espace devient infini aussi. Donc l'espace total renfermé par la courbe et ses deux asymptotes, est infini ; et comme l'espace ECPM est fini, il s'ensuit que l'espace restant PMGB est infini.
Il n'y a que l'hyperbole ordinaire où les espaces P M G B, E C P M, soient tous deux infinis ; dans toutes les autres hyperboles l'un des espaces est infini, et l'autre fini ; l'espace infini est PMGB dans le cas de m < n,& dans le cas de m > n c'est PMCE. Mais il faut observer de plus que dans le cas de m < n,l'espace infini P M G B est plus grand en quelque manière que celui de l'hyperbole ordinaire, quoique l'un et l'autre espaces soient tous deux infinis ; c'est-là sans doute ce qui a donné lieu au terme plus qu'infini de M. Wallis. Pour éclaircir cette question, supposons CP = 1 et PM = 1, et imaginons par le point M une hyperbole équilatère entre les deux asymptotes CB, CE, que je suppose faire ici un angle droit ; ensuite par le même point M décrivons une hyperbole, dont l'équation soit Xe yn = 1, m étant < n, il est visible que dans l'hyperbole ordinaire y = Xe 1, et que dans celle-ci y = Xe m/n ; d'où l'on voit que x étant plus grand que 1, c'est-à-dire que C P, l'ordonnée correspondante de l'hyperbole ordinaire, sera plus petite que celle de l'autre hyperbole. En effet, si x est plus grand que 1, et que m/n soit < 1, il s'ensuit que Xe m/n sera > Xe 1, puisque m étant < n, on a Xe > xm, lorsque x est plus grand que 1. D'où il s'ensuit que x > x m/n et 1/ x ou x-1 < 1/ x m/n ou Xe m/n. Donc l'espace P M G B de l'hyperbole représentée par Xe yn = 1, renfermera l'espace de l'hyperbole ordinaire représentée par l'équation x y = 1, et ayant la même ordonnée P M. Ainsi, quoique ce dernier espace soit infini, on peut dire que l'autre, qui est infini à plus forte raison, est en quelque manière un infini plus grand. Voyez à l'article INFINI, la notion claire et nette que l'on doit se former de ces prétendus infinis plus grands que d'autres.
Sait M S, fig. 33. une logarithmique, P R son asymptote, P T sa soutangente, et P M une de ses ordonnées. L'espace indéterminé R P M S sera égal à P M x P T ; et le solide engendré par la révolution de la courbe autour de son asymptote V P, sera égal à la moitié du cylindre, qui aurait pour hauteur une ligne égale à la soutangente, et pour demi-diamètre de sa base une ligne égale à l'ordonnée Q V. Voyez LOGARITHMIQUE.