adj. (terme de Géométrie) il se dit de deux quantités qui n'ont point de mesure commune, quelque petite qu'elle sait, pour mesurer l'une et l'autre. Voyez COMMENSURABLE, SOURD et IRRATIONNEL.
Le côté d'un carré est incommensurable avec sa diagonale, comme le démontre Euclides ; mais il est commensurable en puissance, parce que le carré de la diagonale contient deux fois le carré fait sur le côté.
On dit aussi que des surfaces sont incommensurables en puissance, lorsqu'elles ne peuvent être mesurées par aucune surface commune. (E)
On a démontré aux mots FRACTION et DIVISEUR, que si deux nombres a, b, n'ont point de diviseur commun, autre que l'unité, leurs carrés a a, b b, leurs cubes a 3, b 3, etc. et ainsi du reste, n'auront point de diviseur commun, autre que l'unité ; d'où il s'ensuit que le carré, le cube, etc. d'une fraction a/b est toujours une fraction ; j'entends ici par fraction toute quantité dans laquelle a ne se peut diviser exactement par b ; soit que a soit plus petit ou plus grand que b : donc tout nombre entier, comme 2, 3, 5, 6, etc. qui ne saurait avoir pour racine carrée un nombre entier, ne saurait avoir pour racine carrée un entier, plus une fraction ; donc on ne saurait exprimer en nombre la racine carrée de ces sortes de nombres ; ainsi la racine carrée de 2, par exemple, est incommensurable à l'unité ; et en général on appelle incommensurable la racine du degré m de tout nombre entier p, dont on ne peut trouver la racine du degré m en nombres entiers ; car il est démontré que cette racine ne saurait être exprimée par quelque nombre que ce puisse être.
A plus forte raison, les racines des incommensurables sont incommensurables, comme le serait, par exemple, la racine de la racine de 2.
Il y a cette différence entre les incommensurables et les imaginaires, 1°. que les incommensurables peuvent se représenter par des lignes, (comme la diagonale du carré), quoiqu'ils ne puissent s'exprimer exactement par des nombres ; au lieu que les imaginaires ne peuvent ni se représenter, ni s'exprimer. Voyez IMAGINAIRE. 2°. Qu'on approche des incommensurables autant qu'on veut par le calcul ; voyez APPROXIMATION, ce qu'on ne peut faire des imaginaires, voyez EQUATION. (O)