Ainsi la ligne A D (Planch. Géométr. fig. 50.) est une tangente du cercle au point D.
Il est démontré en Géométrie, 1°. que si une tangente A D et une sécante A B sont tirées du même point A, le carré de la tangente sera égal au rectangle de la sécante entière, A B et de sa portion A C qui tombe hors du cercle. Voyez SECANTE.
2°. Que si deux tangentes A D, A E sont tirées au même cercle du même point A, elles seront égales entr'elles.
TANGENTE, en Trigonométrie. Une tangente d'un arc A E est une ligne droite E F (fig. 1. Trigonomét.) élevée perpendiculairement sur l'extrémité du diamètre, et continuée jusqu'au point F où elle coupe la sécante C F, c'est-à-dire une ligne tirée du centre par l'autre extrémité A de l'arc A E. Voyez ARC et ANGLE.
Ainsi la tangente de l'arc E A est une partie d'une tangente d'un cercle, c'est-à-dire d'une ligne droite qui touche un cercle sans le couper, interceptée entre deux lignes droites tirées du centre C par les extrémités de l'arc E A. La ligne F E est la tangente de l'angle ACE, comme aussi de l'angle A C I ; de sorte que deux angles adjacens n'ont qu'une même tangente commune.
Co-tangente ou tangente du complément, c'est la tangente d'un arc qui est le complément d'un autre arc à un quart de cercle. Voyez COMPLEMENT.
Ainsi la tangente de l'arc A H serait la co- tangente de l'arc A E, ou la tangente du complément de l'arc A E.
Trouver la longueur de la tangente d'un arc quelconque, le sinus de l'arc étant donné. Supposons l'arc AE, le sinus donné A D, et la tangente cherchée E F. Puisque le sinus et la tangente sont perpendiculaires au rayon E C, ces lignes sont parallèles entr'elles : ainsi le co-sinus D C est au sinus A D comme le sinus total est à la tangente E F. Voyez SINUS.
C'est pourquoi ayant une table des sinus, on construit facilement une table des tangentes.
Les tangentes artificielles sont les logarithmes des tangentes des arcs. Voyez LOGARITHME.
La ligne des tangentes est une ligne que l'on met ordinairement sur le compas de proportion. Voyez en la description et l'usage à l'article COMPAS DE PROPORTION.
Tangente d'une section conique, comme d'une parabole, c'est une ligne droite qui ne touche ou qui ne rencontre la courbe qu'en un point, sans la couper ou sans entrer dedans. Voyez CONIQUE, COURBE, etc.
En général, tangente d'une ligne courbe est une ligne droite qui étant prolongée de part et d'autre du point où elle rencontre cette courbe, est telle que les deux parties à droite et à gauche de cette ligne, tombent hors de la courbe, et qu'on ne puisse mener par ce même point aucune ligne droite qui soit entre la courbe et la tangente, et dont les deux parties soient situées hors de la courbe.
Méthode des tangentes. C'est une méthode de déterminer la grandeur et la position de la tangente d'une courbe quelconque algébrique, en supposant que l'on ait l'équation qui exprime la nature de cette courbe.
Cette méthode renferme un des plus grands usages du calcul différentiel. Voyez DIFFERENTIEL.
Comme elle est d'un très-grand secours en Géométrie, elle semble mériter que nous nous y arrêtions ici particulièrement. Voyez SOUS-TANGENTE.
Trouver la sous-tangente d'une courbe quelconque algébrique. Sait la demi-ordonnée p m infiniment proche d'une autre ordonnée P M (Pl. anal. fig. 13.), P p sera la différentielle de l'abscisse ; et abaissant la perpendiculaire m R = P p, R m sera la différentielle de la demi-ordonnée. C'est pourquoi tirant la tangente T M, l'arc infiniment petit M m ne différera pas d'une ligne droite. Ainsi M m R sera un triangle rectangle rectiligne appelé ordinairement le triangle différentiel ou caractéristique de la courbe ; à cause que les lignes courbes sont distinguées les unes des autres par le rapport variable des côtés de ce triangle.
Or à cause du parallélisme des lignes droites m R et T P l'angle M m R = M T P ; ainsi le triangle M m R est semblable au triangle T M P. Sait donc A P = Xe P M = y, on aura P p = m R = d Xe et R M = d y. Par conséquent
R M. m R : : P M. P T
d y. d x : : y.
Présentement si on substitue, dans l'expression générale
1°. L'équation qui exprime la nature de la parabole ordinaire est
a x = y²
d'où l'on tire a d x = 2 y d y.
& d x =
donc P T = = <2y2dy/ady> = <2y2/a> = <2ax/a> = 2 Xe C'est-à-dire que la sous-tangente est double de l'abscisse.
2°. L'équation du cercle est
a x - x x = y y
donc a d x - 2 x d x = 2 y d y
& d x = <2ydy/a-2x
donc P T = = = = =
3°. L'équation d'une ellipse est
a y 2 = a b x - b x 2
ainsi a y d y = a b d x - 2 b x d x . = d x
P T = = = = .
Sait a y m + b x n + c y r x s + e = 0, qui est l'équation pour un grand nombre de courbes algébriques,
m a y m - 1 d y + n b x n - 1 d x + s c y r x s - 1 d x + r c y r - 1 x s d y = 0
n b x n - 1 d x + s c y r x s - 1 d x = - m a y m - 1 d y - r c y r - 1 x s d y
d x = -
P T =
Supposons, par exemple y 2 - a x = 0 ; alors, en comparant avec la formule générale, on a
a y m = y² b x n = - a x
a = 1. m = 2 b = - a. n = 1
c y r x s = 0 e = 0
c = 0. r = 0. s = 0
En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous- tangente, on a la sous- tangente de la parabole du premier genre = 2 y 2 : a.
Supposant y 3 - x 3 + a x y = 0, alors on aura
A y m = y 3 ; b x n = - x 3 ; a = 1 ; m = 3 ; b = 1 ; n = 3.
C y r x s = - a x y ; e = 0
C = - a r = 1 ; s = 1
En substituant ces valeurs dans la formule générale de la sous- tangente, on a la sous- tangente de la courbe dont l'équation est donnée, P T = (- 3 y 3 + a y Xe : (- 3 x 2 - a y) = (3 y 3 - a x y) : (3 x 2 + a y) ; par conséquent A T = (3 y 3 - a x y) : (3 x 2 + a y) - x = (3 y 3 - a x y - 3 x 3 - a x y) : (3 x 2 + a y) = (3 a x y - 2 a x y) : 3 x 2 + a y ; la valeur de y 3 - x 3, c'est-à-dire a x y : (3 x 2 + a y) étant substituée après l'avoir prise de l'équation de la courbe.
Quand l'expression de la sous- tangente est négative, c'est une marque que cette sous- tangente tombe du côté opposé à l'origine A des Xe comme dans la fig. 13. Au contraire, quand la sous- tangente est positive, elle tombe du côté de A, comme dans les fig. 12. 14. n °. 1. et 14. n °. 2.
Quand la sous- tangente est infinie, alors la tangente est parallèle à l'axe des Xe comme dans les fig. 15. 16. 17.
Méthode inverse des tangentes. C'est une méthode de trouver l'équation ou la construction de quelque courbe par le moyen de la tangente ou de quelque autre ligne, dont la détermination dépend de la tangente donnée.
Cette méthode est une des plus grandes branches du calcul intégral. Voyez INTEGRAL.
Nous allons donner son application dans ce qui suit. Les expressions différencielles de la tangente, de la sous- tangente, etc. ayant été exposées dans l'article précédent ; si l'on fait la valeur donnée égale à l'expression différencielle, et que l'on intègre l'équation différencielle, ou qu'on la construise, si on ne peut pas l'intégrer, on aura la courbe que l'on cherche : par exemple.
1°. Trouver la ligne courbe, dont la sous- tangente = 2 y y : a. Puisque la sous- tangente d'une ligne algébrique est = y d x : d y, on a
y d x : d y = 2 y y : a
& a y d x = 2 y ² d y
donc a d x = 2 y d y
donc a x = y ²
ainsi la courbe cherchée est une parabole dont on a donné la construction à l'article PARABOLE.
2°. Trouver la courbe, dont la sous- tangente est une troisième proportionnelle à r - x et y.
Puisque r - x : y = y :
nous avons
r - x : y = d y : d x
& r d x - x d x = y d y
donc r x - 1/2 x ² = 1/2 y ²
donc 2 r x - x x = y ²
ainsi la courbe cherchée est un cercle.
3°. Trouver une ligne où la sous- tangente soit égale à la demi-ordonnée.
Puisque
y d x ; d y = y
y d x = y d y
d x = d y
x = y
il parait donc que la ligne cherchée est une ligne droite.
4°. Pour trouver une courbe dont la sous- tangente soit constante, on aura
Ces exemples suffisent dans un ouvrage tel que celui-ci, pour donner une idée de la méthode.
La méthode des tangentes est expliquée avec beaucoup de clarté, et appliquée à beaucoup d'exemples dans la seconde et la neuvième sections de l'analyse des infiniment petits par M. le marquis de l'Hôpital. Voyez aussi, sur quelques difficultés de cette méthode, les Mém. de l'acad. de 1716 et 1723. Ces difficultés ont lieu, lorsque le numérateur et le dénominateur de la fraction qui expriment la sous- tangente, deviennent l'un et l'autre égaux à zéro. C'est ce qui arrive dans les points où il y a plusieurs branches qui s'entrecoupent ; alors il faut différentier deux fois l'équation de la courbe, et la fraction (d x)/(d y) se trouve avoir autant de valeur qu'il y a de branches. On peut voir sur cela, outre les mémoires cités, un mémoire de M. Camus, dans le volume de l'académie 1747, où cette matière est exposée et discutée fort clairement. (O)