L'art de résoudre ces sortes de questions consiste à employer et à manier tellement les inconnues ou l'inconnue, que le carré et les plus hautes puissances de cette inconnue disparaissent de l'équation, et qu'il ne reste que l'inconnue élevée au premier degré, au moyen de quoi on résout cette équation sans avoir recours aux incommensurables. Donnons-en un exemple sur les triangles rectangles en nombres. On propose de trouver Xe y, z, telles que x x + y y = z z : soit supposé z = x + u, on aura x x + y y = x x + 2 x u + u u ; d'où l'on voit qu'on peut faire disparaitre x Xe et qu'on aura (yy - uu) /(2 u) = x ; donc prenant y et u pour tout ce qu'on voudra, on trouvera que les côtés du triangle sont y, (yy - uu) /(2 u,) et l'hypothenuse x + u = (yy + uu) /(2 u) : par exemple, soit y = 3, u = 1, on aura (yy - uu) /2 u = 8/2 = 4, et x + u = 10/2 = 5. Ainsi 3, 4, sont les deux côtés du triangle, et 5 l'hypothenuse. On voit aisément que ce problème a une infinité de solutions.
Autre problème. Sait proposé de trouver une quantité Xe telle que a + b x + x x soit un carré, on fera de même a + b x + x x égale au carré de x + z, et on aura a + b x = 2 x z + z z ; donc x = (a - z z) /(2 z - b). Ainsi prenant z pour tout ce qu'on voudra, on aura Xe
Autre. Sait proposé de partager un nombre a 2 + b 2, composé de deux carrés en deux autres carrés ; soit s x - a, l'un des nombres cherchés, et r x - b l'autre, s et r étant des coefficiens indéterminés, on aura a2 + b2 = s2 Xe - 2 s x a + a2 + r2 Xe - 2 r x b + b b ; donc s2 x - 2 s a + r2 x - 2 r b = 0 ; donc x = (2 s a + 2 r b)/(r2 + s2). Ainsi prenant pour r et s tel nombre qu'on voudra, on aura Xe
Autre. Sait proposé de trouver Xe telle que a a - x x soit un carré. Je fais = (a - Xe z, et j'ai a a - x x = 2 z z, et divisant par a - Xe j'ai a + x = a z - x z ; donc (a z - a)/(z + 1) = Xe Ainsi prenant pour z tout ce qu'on voudra, on aura Xe
Voilà, ce me semble, un nombre suffisant d'exemples pour donner dans un ouvrage tel que l'Encyclopédie, l'idée des problèmes de Diophante. Ceux qui voudront étudier plus à fond cette matière, la trouveront très-bien traitée dans les éléments d'Algèbre de Saunderson, in -4°. Cambridge 1740, liv. VI. t. II. M. Euler dans différents volumes des mémoires de Petersbourg, a donné aussi d'une manière très-savante la solution de plusieurs problèmes du genre de ceux de Diophante.
Remarquons en passant que cette méthode de réduire à des quantités rationnelles les quantités irrationnelles, est fort utîle dans le calcul intégral, pour réduire une différentielle donnée en fraction rationnelle. Voyez CALCUL INTEGRAL, FRACTION RATIONNELLE.
En effet soit donné , on transformera cette quantité en fraction rationnelle en supposant comme ci-dessus x + z = : on transformerait de même , en supposant que p - x est un facteur de a + b x - x Xe et faisant = (p - Xe z. Voyez le mémoire que j'ai donné sur ce sujet dans le volume de l'académie de Berlin, pour l'année 1746. Voyez aussi le traité du calcul intégral de M. de Bougainville le jeune, I. part. chap. des transformations des différentielles.
" L'ouvrage de Diophante est, dit M. Saunderson, le premier ouvrage d'Algèbre que nous trouvions dans l'antiquité. Ce n'est pas qu'il soit l'inventeur de cet art ; car outre qu'on trouve quelques traces dans des auteurs plus anciens, Diophante ne donne point dans son ouvrage les règles de l'Algèbre : il traite cette science comme déjà connue ".
M. Saunderson fait ensuite un grand éloge de la sagacité que Diophante a montrée dans la solution des problèmes qui ont retenu son nom. Il ajoute que du temps de Diophante, on ne connaissait point encore la méthode de nommer par des lettres les nombres connus, comme on fait les nombres inconnus, ni la méthode d'introduire plusieurs lettres pour désigner plusieurs quantités inconnues différentes ; il reconnait que faute de cet avantage, on trouve quelquefois dans les solutions de Diophante un peu de confusion. Nous n'examinerons point ici si ce qu'on trouve dans l'ouvrage de Diophante peut être regardé comme de l'Algèbre ; et supposé que c'en soit en effet, jusqu'où les anciens paraissent avoir poussé cette science. C'est une question qui nous conduirait trop loin, qui n'appartient qu'indirectement à cet article, et que nous pourrons avoir occasion de traiter ailleurs. Voyez ALGEBRE et MATHEMATIQUES. (O)
