Par exemple, supposons deux polygones, l'un inscrit et l'autre circonscrit à un cercle, il est évident que l'on peut en multiplier les côtés autant que l'on voudra ; et dans ce cas, chaque polygone approchera toujours de plus en plus de la circonférence du cercle, le contour du polygone inscrit augmentera, et celui du circonscrit diminuera ; mais le périmètre ou le contour du premier ne surpassera jamais la longueur de la circonférence, et celui du second ne sera jamais plus petit que cette même circonférence ; la circonférence du cercle est donc la limite de l'augmentation du premier polygone, et de la diminution du second.
1°. Si deux grandeurs sont la limite d'une même quantité, ces deux grandeurs seront égales entr'elles.
2°. Sait A x B le produit des deux grandeurs A, B. Supposons que C soit la limite de la grandeur A, et D la limite de la quantité B ; je dis que C x D, produit des limites, sera nécessairement la limite de A x B, produit des deux grandeurs A, B.
Ces deux propositions, que l'on trouvera démontrées exactement dans les institutions de Géométrie, servent de principes pour démontrer rigoureusement que l'on a l'aire d'un cercle, en multipliant sa demi-circonférence par son rayon. Voyez l'ouvrage cité p. 331. et suiv. du second tome. (E)
La théorie des limites est la base de la vraie Métaphysique du calcul différenciel. Voyez DIFFERENTIEL, FLUXION, EXHAUSTION, INFINI. A proprement parler, la limite ne coïncide jamais, ou ne devient jamais égale à la quantité dont elle est la limite ; mais celle-ci s'en approche toujours de plus en plus, et peut en différer aussi peu qu'on voudra. Le cercle, par exemple, est la limite des polygones inscrits et circonscrits ; car il ne se confond jamais rigoureusement avec eux, quoique ceux-ci puissent en approcher à l'infini. Cette notion peut servir à éclaircir plusieurs propositions mathématiques. Par exemple, on dit que la somme d'une progression géométrique décroissante dont le premier terme est a et le second b, est
LIMITE des Planetes, (Astronomie) sont les points de leur orbite où elles sont le plus éloignées de l'écliptique. Voyez ORBITE.
Les limites sont à 90 degrés des nœuds, c'est-à-dire des points où l'orbite d'une planète coupe l'écliptique.
LIMITES, en Algèbre, sont les deux quantités entre lesquelles se trouvent comprises les racines réelles d'une équation. Par exemple, si on trouve que la racine d'une équation est entre 3 et 4, ces nombres 3 et 4 seront ses limites. Voyez les articles EQUATION, CASCADE et RACINE.
Limites d'un problème sont les nombres entre lesquels la solution de ce problème est renfermée. Les problèmes indéterminés ont quelquefois, et même souvent, des limites, c'est-à-dire que l'inconnue est renfermée entre de certaines valeurs qu'elle ne saurait passer. Par exemple, si on a y = , il est clair que y ne saurait être plus grande que a, puisque faisant x = 0, on a y = a ; et que faisant x = a, on a y = 0, et qu'enfin x > a, rend y imaginaire, soit que x soit positive ou négative. Voyez PROBLEME et DETERMINE. (O)